Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(MN\) vuông góc với nhau. Trên tia

Câu hỏi số 354754:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(MN\) vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(C\) khác điểm \(M\). Kẻ \(MH\) vuông góc với \(BC\) (\(H\) thuộc \(BC\)).

a) Chứng minh \(BOMH\) là tứ giác nội tiếp

b) \(MB\) cắt \(OH\) tại \(E.\) Chứng minh \(ME.HM = BE.HC.\)

c) Gọi giao điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MHC\) là \(K.\) Chứng minh ba điểm \(C,K,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354754

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tam giác đồng dạng và tính chất đường phân giác của tam giác

c) Chứng minh hai tam giác đồng dạng và sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(BOMH\) là tứ giác nội tiếp

Vì \(AB \bot MN\) tại \(O\) nên \(\angle MOB = 90^\circ \)

Vì \(MH \bot BC\) tại \(H\) nên \(\angle MHB = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(BOMH\) có \(\angle MOB + \angle MHB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên \(BOMH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) \(MB\) cắt \(OH\) tại \(E.\) Chứng minh \(ME.HM = BE.HC.\)

Ta có có \(AB = MN,\,AB \bot MN\) tại \(O\) nên \(MBNA\) là hình vuông

Xét tam giác \(HMB\) và tam giác \(HCM\) có

\(\angle MHB = \angle CHM = 90^\circ \) và \(\angle HMB = \angle MCH\) (cùng phụ với \(\angle CMH\))

Suy ra \(\Delta HMB \sim \Delta HCM\left( {g - g} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{HM}}{{HB}} = \frac{{HC}}{{HM}}\) (1)

Vì tứ giác \(BOHM\) nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle MHE = \angle OBM\) mà \(\angle OBM = 45^\circ \) (do \(MBNA\) là hình vuông)

Do đó \(\angle MHE = \angle EHB\) hay \(HE\) là phân giác \(\angle MHB\).

Xét tam giác \(MHB\) có \(HE\) là tia phân giác \(\angle MHB\) nên \(\frac{{ME}}{{EB}} = \frac{{MH}}{{HB}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{ME}}{{EB}} \Leftrightarrow HC.EB = MH.ME\) (đpcm)

c) Gọi giao điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MHC\) là \(K.\) Chứng minh ba điểm \(C,K,E\) thẳng hàng.

*) Ta chứng minh \(C,E,N\) thẳng hàng

+ Theo câu b) ta có \(HC.EB = MH.ME \Leftrightarrow \frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{ME}}{{EB}}\) (3)

+ Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta BMC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle C\,\,\,chung\\\angle MHC = \angle CMB = 90^\circ \\ \Rightarrow \Delta MCH \sim \Delta BCM\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{CM}}{{MB}}\end{array}\)

Mà \(MB = BN\) (do \(AMBN\) là hình vuông)

\( \Rightarrow \frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{CM}}{{BN}}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{CM}}{{BN}} \Rightarrow \frac{{ME}}{{CM}} = \frac{{BE}}{{BN}}\)

Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta {\rm B}{\rm E}{\rm N}\) có \(\angle MCE = \angle NBE = 90^\circ \) và \(\frac{{ME}}{{CM}} = \frac{{BE}}{{BN}}\) (cmt) nên \(\Delta MEC \sim \Delta BEN\,\left( {c - g - c} \right)\)

Suy ra \(\angle MEC = \angle BEN\) mà \(M,E,B\) thẳng hàng nên \(C,E,N\) thẳng hàng.

*) Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle MKN = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vì \(\Delta MHC\) vuông tại \(H\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MHC\) là đường tròn đường kính \(MC\)

Xét đường tròn đường kính \(MC\) có \(\angle MKC = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\angle MKN + \angle MKC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên ba điểm \(N,K,C\) thẳng hàng.

Lại có \(N,E,C\) thẳng hàng (cmt) nên ba điểm \(E,K,C\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link