Trên nửa đường tròn, đường kính \(AB\), lấy hai điểm \(I,\,\,Q\) sao cho \(I\) thuộc cung \(AQ\).
Trên nửa đường tròn, đường kính \(AB\), lấy hai điểm \(I,\,\,Q\) sao cho \(I\) thuộc cung \(AQ\). Gọi \(C\) là giao điểm hai tia \(AI\) và \(BQ\); \(H\) là giao điểm hai dây \(AQ\) và \(BI\).
a) Chứng minh tứ giác \(CIHQ\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(CI.AI = HI.BI\).
c) Biết \(AB = 2R\). Tính giá trị của biểu thức \(M = AI.AC + BQ.BC\) theo \(R\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác \(CIHQ\) nội tiếp.
Ta có \(\angle AIB = \angle AQB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle CIH = \angle CQH = {90^0}\).
Xét tứ giác \(CIHQ\) có: \(\angle CIH + \angle CQH = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(CIHQ\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Chứng minh \(CI.AI = HI.BI\).
Xét tam giác \(AHI\) và tam giác \(BCI\) có:
\(\angle AIH = \angle BIH = {90^0};\)
\(\angle IAH = \angle IBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IQ\));
\( \Rightarrow \Delta AIH \sim \Delta BIC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{HI}}{{CI}} \Leftrightarrow CI.AI = HI.BI\).
c) Biết \(AB = 2R\). Tính giá trị của biểu thức \(M = AI.AC + BQ.BC\) theo \(R\).
Ta có:
\[\begin{array}{l}M = AI.AC + BQ.BC\\\,\,\,\,\,\,\, = AC\left( {AC - IC} \right) + BQ\left( {BQ + QC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = A{C^2} - AC.IC + B{Q^2} + BQ.QC\\\,\,\,\,\,\,\, = A{Q^2} + Q{C^2} - AC.IC + B{Q^2} + BQ.QC\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {A{Q^2} + B{Q^2}} \right) + QC\left( {QC + BQ} \right) - AC.IC\\\,\,\,\,\,\,\, = A{B^2} + QC.BC - AC.IC\end{array}\]
Tứ giác \(AIQB\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle CIQ = \angle CBA\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét tam giác \(CIQ\) và tam giác \(CBA\) có:
\(\angle ACB\) chung;
\(\angle CIQ = \angle CBA\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta CIQ \sim \Delta CBA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{IC}}{{BC}} = \frac{{QC}}{{AC}} \Rightarrow QC.BC = AC.IC \Rightarrow QC.BC - AC.IC = 0\).
Vậy \(M = AI.AC + BQ.BC = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
