Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) và đường cao \(AK\) \(\left( {K \in BC}

Câu hỏi số 354865:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) và đường cao \(AK\) \(\left( {K \in BC} \right)\). Vẽ đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\). Từ \(A\) kẻ các tiếp tuyến \(AM,AN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (với \(M,N\) là các tiếp điểm, \(M\) và \(B\) nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(AO\)). Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MN\) và \(AK.\)

a) Chứng minh tứ giác \(AMKO\) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(KA\) là tia phân giác góc \(MKN\)

c) Chứng minh \(A{N^2} = AK.AH\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354865

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhín cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

c) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc để suy ra hệ thức đúng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AMKO\) là tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AM\) là tiếp tuyến nên \(AM \bot OM\) hay \(\angle AMO = 90^\circ \)

Lại có \(AK \bot BC \Rightarrow \angle AKO = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AMKO\) có \(\angle AMO = \angle AKO\left( { = 90^\circ } \right)\) nên hai đỉnh \(M,K\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AO\) dưới các góc vuông, do đó tứ giác \(AMKO\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Chứng minh \(KA\) là tia phân giác góc \(MKN\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AN\) là tiếp tuyến nên \(AN \bot ON\) hay \(\angle ANO = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(KONA\) có \(\angle AKO + \angle ANO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(KONA\) là tứ giác nội tiếp. Suy ra \(\angle NKA = \angle NOA\) (1)

Lại có tứ giác \(AMKO\) là tứ giác nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle MKA = \angle MOA\) (2)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AM,AN\) là hai tiếp tuyến nên \(OA\) là tia phân giác của \(\angle MON\) (tính chất)

Do đó \(\angle MOA = \angle NOA\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\angle MKA = \angle NKA\) hay \(KA\) là tia phân giác của góc \(MKN\) (đpcm).

c) Chứng minh \(A{N^2} = AK.AH\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle AMN\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(MN\) nên \(\angle AMN = \frac{1}{2}sd\,cung\,MN\) (4)

Lại có \(\angle MKA = \angle MOA = \frac{1}{2}\angle MON\) (theo câu b) nên \(\angle MKA = \frac{1}{2}sd\,cung\,MN\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\angle AMH = \angle MKA\).

Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AKM\) có

+) \(\angle MAH\) chung

+) \(\angle AMH = \angle MKA\) (cmt)

Nên \(\Delta AMH \sim \Delta AKM\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra \(\frac{{AM}}{{AK}} = \frac{{AH}}{{AM}} \Leftrightarrow A{M^2} = AK.AH\)

Lại có \(AM = AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(A{N^2} = AK.AH\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link