Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Vẽ đường cao \(AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\), từ \(H\) kẻ \(HM\) vuông góc với \(AB\,\,\left( {M \in AB} \right)\) và kẻ \(HN\) vuông góc với \(AC\,\,\left( {N \in AC} \right)\). Vẽ đường kính \(AE\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và cắt \(MN\) tại \(I\), tia \(MN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(AM.AB = AN.AC\).
c) Chứng minh tứ giác \(CEIN\) nội tiếp và tam giác \(AHK\) cân.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) nội tiếp.
Do \(HM \bot AB,\,\,HN \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AMH = \angle ANH = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AMHN\) có \(\angle AMH + \angle ANH = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AMHN\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Chứng minh \(AM.AB = AN.AC\).
Do \(AMHN\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle HMN = \angle HAN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AN\)).
Mà \(\angle HAN + \angle ACB = {90^0}\) (Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\))
\( \Rightarrow \angle HMN + \angle ACB = {90^0} \Rightarrow \angle HMN + \angle NCB = {90^0}\).
Xét tứ giác \(BMNC\) có: \(\angle BMN + \angle NCB = \angle BMH + \angle HMN + \angle NCB = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(BMNC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ACB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ACB\) có:
\(\angle BAC\) chung;
\(\angle AMN = \angle ACB\,\,\left( {cmt} \right)\);
\( \Rightarrow \Delta AMN \sim \Delta ACB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}} \Rightarrow AM.AB = AN.AC\).
c) Chứng minh tứ giác \(CEIN\) nội tiếp và tam giác \(AHK\) cân.
*) Tứ giác \(BMNC\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle ANM = \angle MBC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle MBC = \angle ABC = \angle AEC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).
\( \Rightarrow \angle ANM = \angle AEC\).
Mà \(\angle ACE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông tại \(C\).
\( \Rightarrow \angle AEC + \angle EAC = {90^0} \Rightarrow \angle ANM + \angle EAC = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta AIN\) vuông tại \(I \Rightarrow AIN = {90^0} \Rightarrow \angle NIE = {90^0}\)
Xét tứ giác \(CEIN\) có: \(\angle NIE + \angle NCE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(CEIN\) nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
*) Giả sử \(MN\) cắt\(\left( O \right)\) tại \(K\) sao cho \(N\) nằm giữa \(M,\,\,K\) như hinh vẽ, trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHC\) ta có: \(A{H^2} = AN.AC\) (1).
Nối \(KE \Rightarrow \angle AKE = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AKE\) có: \(A{K^2} = AI.AE\) (2).
Xét tam giác \(AIN\) và tam giác \(ACE\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AIN = \angle ACE = {90^0};\\\angle CAE\,\,chung;\\ \Rightarrow \Delta AIN \sim \Delta ACE\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AE}} = \frac{{AI}}{{AC}} \Rightarrow AN.AC = AI.AE\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow A{H^2} = A{K^2} \Leftrightarrow AH = AK \Rightarrow \Delta AHK\) cân tại \(A\,\,\left( {dpcm} \right)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
