Giải hệ phương trình:

Câu hỏi số 3550:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.$

A. (x;y)=(3;5)

B. (x;y)=(1;-1)

C. (x;y)=( $\frac{1}{}2$ ; $\frac{1}{}2$ )

D. (x;y)=(3;1)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3550

Giải chi tiết

$\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0\\(x+y)^{4}-2(x^{2}+2xy+y^{2})+x+y+4y^{2}-4y+1=0 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} 2(x+y)^{3}+4xy-3=0 (1)\\(x+y)^{4}-2(x+y)^{2}+(x+y)+(2y-1)^{2}=0 (2)\end{matrix}\right.$

Ta có:

(x+y)² ≥4xy => 2(x+y)³+(x+y)² -3 ≥ 2(x+y)³+4xy-3

=> 2(x+y)³ +(x+y)² -3 ≥0

Đặt t=x+y=> 2t³+t-3 ≥0 <=> 2t³-2t²+2t²-2t+3t-3 ≥0

<=> 2(t-1)(t²+1+ $\frac{3}{2}$ )≥ 0 <=> t-1≥ 0 <=> t≥ 1

Ta viết lại phương trình (2): t⁴-2t²+t+(2y-1)² =0

Xét hàm số f(t)= t⁴-2t²+t, f’(t)=4t³-4t+1>0 $\forall$ t≥ 1

=> f(t) đồng biến trên [1;+∞ ). Vì vậy $\forall$ t≥1, f(t)≥f(1)=0;

t⁴-2t²+t+(2y-1)² =0 <=> f(t)+(2y-1)² =0 <=> $\left\{\begin{matrix} f(t)=0)\\(2y-1)^{2}=0 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} t=1\\2y-1=0 \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ => x=y= $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn hệ đã cho)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.