Cho x và y là hai số thực thay đổi và không cùng bằng 0. Chứng minh: -2√2 - 2 ≤ ≤ 2√2

Câu hỏi số 3564:

Cho x và y là hai số thực thay đổi và không cùng bằng 0. Chứng minh: -2√2 - 2 ≤ $\frac{x^{2}-(x-4y)^{2}}{x^{2}+4y^{2}}$ ≤ 2√2 - 2

A. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{x}{2y}$ = 1 + √2

B. Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{x}{2y}$ = 1 - √2

C. Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{x}{2y}$ = 1 - √2 và $\frac{x}{2y}$ = 1 + √2

D. Dấu bằng xảy ra khi: x = 1 - √2 và x = 1 + √2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3564

Giải chi tiết

Ta đặt P = $\frac{x^{2}-(x-4y)^{2}}{x^{2}+4y^{2}}$ .

Trường hợp 1: y = 0 thì khi đó x khác 0. Bất đẳng thức đúng.

Trường hợp 2: y ≠ 0. Ta chia cả tử và mẫu của P cho 4y² ≠ 0

Ta được P = $\frac{x^{2}-(x-4y)^{2}}{x^{2}+4y^{2}}$ = $\frac{(\frac{x}{2y})^{2}-(\frac{x}{2y}-2)^{2}}{(\frac{x}{2y})^{2}+1}$

Đặt t = $\frac{x}{2y}$ . Xét hàm số:

F(t) = $\frac{t^{2}-(t-2)^{2}}{t^{2}+1}$ = $\frac{4t-4}{t^{2}+1}$

⇒ F'(t) = $\frac{4(t^{2}+1)-2t(4t-4)}{(t^{2}+1)^{2}}$ = $\frac{-4t^{2}+8t+4}{(t^{2}+1)^{2}}$

= $\frac{-4(t^{2}-2t-1)}{(t^{2}+1)^{2}}$

Từ đó: F'(t) = 0 ⇔ $\frac{-4(t^{2}-2t-1)}{(t^{2}+1)^{2}}$ = 0 ⇔ $[\begin{matrix} t=1-\sqrt{2}\\t=1+\sqrt{2} \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

F(1 - √2) = -2 - 2√2 và F(1 + √2) = 2√2 - 2

Từ đó suy ra: -2 - 2√2 ≤ P ≤ 2√2 - 2

Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{x}{2y}$ = 1 - √2 và $\frac{x}{2y}$ = 1 + √2 (đpcm)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.