Phương trình \({\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \cos 2x\) có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ
Phương trình \({\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \cos 2x\) có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Sử dụng hẳng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) và công thức nhân đôi : \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\).
- Đưa phương trình về dạng tích.
- Giải các phương trình lượng giác đã biết cách giải
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^3}x + {\sin ^3}x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {{{\cos }^2}x - \cos x\sin x + {{\sin }^2}x} \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x + \sin x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1 - \sin x\cos x + \sin x - \cos x = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải (1): \(\cos x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giải (2): Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành : \(1 - \dfrac{{1 - {t^2}}}{2} + t = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Với \(t = - 1\) thì \(\sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được:
Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \dfrac{\pi }{4}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\).
Khi đó tổng bằng \( - \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} = \dfrac{\pi }{2}\).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
