Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) nhỏ hơn \(2018\) để phương trình \(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\) có nghiệm?

Câu 356487: Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) nhỏ hơn \(2018\) để phương trình \(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\) có nghiệm?

A. \(2000\)

B. \(2001\)

C. \(2010\)

D. \(2011\)

Câu hỏi : 356487

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\).

- \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

- Cô lập \(m\), lập BBT của vế còn lại và kết luận

Đáp án : D
(38) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + \tan x + \cot x + 3 = m\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

Phương trình trở thành: \(3\left( {{t^2} - 2} \right) + t + 3 = m \Leftrightarrow 3{t^2} + t - 3 = m\).

Yêu cầu bài toán: Tìm \(m\) để phương trình \(3{t^2} + t - 3 = m\) (*) có nghiệm thỏa mãn \(\left| t \right| \ge 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + t - 3\) ta có BBT:

Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên, \(m < 2018 \Rightarrow \) Có \(2011\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.