Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

Câu 356488: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m\) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

A. \( - 3 < m < - 1 + \sqrt 2 \)

B. \( - 3 < m \le - 1 + \sqrt 2 \)

C. \( - 1 < m \le - 1 + \sqrt 2 \)

D. \( - 1 < m < - 1 + \sqrt 2 \)

Câu hỏi : 356488

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\).

Đáp án : D
(73) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m \Leftrightarrow \sin 2x + \sin x + \cos x - 2 = m\).

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1\).

Phương trình trở thành: \({t^2} + t - 3 = m\,\,\left( * \right)\).

Với \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow x + \dfrac{\pi }{4} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right]\).

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\) thì phương trình (*) có 1 nghiệm \(t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t - 3\) ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 1 nghiệm \(t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow - 1 < m < - 1 + \sqrt 2 \).

Chọn D

Chú ý:
Phân biệt điều kiện có nghiệm và điều kiện có đúng 2 nghiệm.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.