Tính tổng sau: \(S = \frac{2}{1} + \frac{2}{{1 + 2}} + \frac{2}{{1 + 2 + 3}} + .... + \frac{2}{{1 + 2 + 3 + ... +

Câu hỏi số 361227:

Vận dụng cao

Tính tổng sau: \(S = \frac{2}{1} + \frac{2}{{1 + 2}} + \frac{2}{{1 + 2 + 3}} + .... + \frac{2}{{1 + 2 + 3 + ... + 100}}\)

A. \(S = \frac{{800}}{{101}}\) .

B. \(S = \frac{{200}}{{101}}\) .

C. \(S = \frac{{400}}{{101}}\) .

D. \(S = \frac{{600}}{{101}}\) .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361227

Phương pháp giải

Quan sát biểu thức, để tính được tổng S ta cần tính được các tổng:

\(\begin{array}{l}1 + 2\\1 + 2 + 3\\1 + 2 + 3 + 4\\1 + 2 + 3 + 4 + 5\\......\\1 + 2 + 3 + .... + 100\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} + \underline {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2 + .... + 100}\\{100 + 99 + ... + 1}\end{array}} \\\,\,\,\underbrace {101 + 101 + .... + 101}_{100\,so\,hang}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1 + 2 + 3 + ... + 100} \right) + \left( {100 + 99 + 98 + .... + 1} \right) = 100 \times 101\)

\( \Rightarrow 1 + 2 + 3 + ... + 100 = \frac{{100 \times 101}}{2}\)

Tương tự với các tổng

\(\begin{array}{l}1 + 2 = \frac{{2 \times 3}}{2}\\1 + 2 + 3 = \frac{{3 \times 4}}{2}\\1 + 2 + 3 + 4 = \frac{{4 \times 5}}{2}\\.......\end{array}\)

Biến đổi S để tính tổng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l} + \underline {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2 + .... + 100}\\{100 + 99 + ... + 1}\end{array}} \\\,\,\,\underbrace {101 + 101 + .... + 101}_{100\,so\,hang}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1 + 2 + 3 + ... + 100} \right) + \left( {100 + 99 + 98 + .... + 1} \right) = 100 \times 101\)

\( \Rightarrow 1 + 2 + 3 + ... + 100 = \frac{{100 \times 101}}{2}\)

Tương tự với các tổng

\(\begin{array}{l}1 + 2 = \frac{{2 \times 3}}{2}\\1 + 2 + 3 = \frac{{3 \times 4}}{2}\\1 + 2 + 3 + 4 = \frac{{4 \times 5}}{2}\\.......\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{{2 \times 2}}{{1 \times 2}} + \frac{{2 \times 2}}{{2 \times 3}} + ... + \frac{{2 \times 2}}{{100 \times 101}}\\ = 4 \times \left( {\frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + ... + \frac{1}{{100 \times 101}}} \right)\\ = 4 \times \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}} \right)\\ = 4 \times \left( {1 - \frac{1}{{101}}} \right)\\ = 4 \times \frac{{100}}{{101}}\\ = \frac{{400}}{{101}}\end{array}\)

Vậy \(S = \frac{{400}}{{101}}\) .

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K14 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến các môn Toán, Tiếng Việt, Tiếng Anh lớp 5 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp con lớp 5 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link