Chứng minh rằng : \({A_n} = {3^{3n + 3}} - 26n - 27\,\, \vdots \,\,676,\,\,\,\forall n \ge 1.\)

Câu hỏi số 361705:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361705

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Ta có: \({A_n} = {3^{3n + 3}} - 26n - 27 \vdots 676\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1,\) ta có : \({A_1} = {3^{3.1 + 3}} - 26.1 - 27 = 676\,\, \vdots \,\,676.\)

+) Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) tức là : \({A_k} = {3^{3k + 3}} - 26k - 27\,\, \vdots \,\,676\,\,\,\left( 2 \right)\) (giả thiết quy nạp)

+) Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1,\) tức là : \({A_{k + 1}} = {3^{3\left( {k + 1} \right) + 3}} - 26\left( {k + 1} \right) - 27\,\, \vdots \,\,676\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {3^{3\left( {k + 1} \right) + 3}} - 26\left( {k + 1} \right) - 27\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {27.3^{3\left( {k + 1} \right)}} - 26k - 53\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {27.3^{3k + 3}} - 26k - 53\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\left( {{3^{3k + 3}} - 26k - 27} \right) + 676k + 676\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\left( {{3^{3k + 3}} - 26k - 27} \right) + 676\left( {k + 1} \right).\end{array}\)

Vì \({2^{3k + 3}} - 26k - 27\,\,\, \vdots \,\,676 \Rightarrow 27\left( {{2^{3k + 3}} - 26k - 27} \right)\,\,\, \vdots \,\,676\)

\(\begin{array}{l}676\,\, \vdots \,\,676 \Rightarrow 676\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,676\\ \Rightarrow 27\left( {{3^{3k + 3}} - 26k - 27} \right) + 676\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,676\end{array}\)

Hay \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,676.\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy \({A_n} = {3^{3n + 3}} - 26n - 27\,\, \vdots \,\,676,\,\,\forall n \ge 1\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link