Chứng minh rằng : \(\forall n \ge 1,\) ta có : \(3{n^4} - 14{n^3} + 21{n^2} - 10n\,\, \vdots \,\,24.\)

Câu hỏi số 361704:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361704

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Ta có: \(3{n^4} - 14{n^3} + 21{n^2} - 10n\,\, \vdots \,\,24\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1\) ta có : \(3 - 14 + 21 - 10 = 0\,\, \vdots \,\,24\)

+) Giả sử \(3{n^4} - 14{n^3} + 21{n^2} - 10n\,\, \vdots \,\,24\) đúng với \(n = k,\,\,\,k \ge 1,\) tức là: \(3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k\,\, \vdots \,\,24\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1,\) tức là: \(3{\left( {k + 1} \right)^4} - 14{\left( {k + 1} \right)^3} + 21{\left( {k + 1} \right)^2} - 10\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,24\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3{\left( {k + 1} \right)^4} - 14{\left( {k + 1} \right)^3} + 21{\left( {k + 1} \right)^2} - 10\left( {k + 1} \right)\\ = 3\left( {{k^4} + 4{k^3} + 6{k^2} + 4k + 1} \right) - 14\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right) + 21\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) - 10\left( {k + 1} \right)\\ = 3{k^4} + 12{k^3} + 18{k^2} + 12k + 3 - 14{k^3} - 42{k^2} - 42k - 14 + 21{k^2} + 42k + 21 - 10k - 10\\ = \left( {3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k} \right) + \left( {12{k^3} + 18{k^2} + 12k + 3 - 42{k^2} - 42k - 14 + 42k + 21 - 10} \right)\\ = \left( {3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k} \right) + \left( {12{k^3} - 24{k^2} + 12k} \right)\\ = \left( {3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k} \right) + 12k\left( {{k^2} - 2k + 1} \right)\\ = \left( {3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k} \right) + 12k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)\end{array}\)

Vì \(\left( {3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k} \right)\,\, \vdots \,\,24\) theo giả thiết quy nạp

Ta có: \(k\left( {k - 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\) vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 12k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)\,\, \vdots \,\,24.\\ \Rightarrow \left( {3{k^4} - 14{k^3} + 21{k^2} - 10k} \right) + 12k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)\,\, \vdots \,\,24\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy \(3{n^4} - 14{n^3} + 21{n^2} - 10n\,\, \vdots \,\,24\,\,\,\forall n \ge 1.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link