Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n,\,\,n \ge 1\) thì \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - 1\) chia

Câu hỏi số 361707:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n,\,\,n \ge 1\) thì \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - 1\) chia hết cho \(225.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361707

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Nếu \(a \vdots c,b \vdots c \Rightarrow a - b \vdots c\)

Ta coi đây là một dạng khác của phương pháp quy nạp. Để chứng minh \(F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,A\) ta làm theo các bước sau:

+) Bước 1: \(F\left( 1 \right)\,\, \vdots \,\,A\)

+) Bước 2: \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,A\)

Giải chi tiết

Ta có: \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - \,1\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) = {16^1} - 15 - 1 = 0\,\,\, \vdots \,\,225\)

+) Giả sử: \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - 1\,\, \vdots \,\,225\) đúng với \(n\) (giả thiết quy nạp)

+) Ta đi chứng minh \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,225\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right) = {16^{n + 1}} - 15\left( {n + 1} \right) - 1 - \left( {{{16}^n} - 15n - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {16.16^n} - 15n - 15 - 1 - {16^n} + 15n + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {15.16^n} - 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 15\left( {{{16}^n} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,15\end{array}\)

Lại có: \({16^n} - 1\,\, \vdots \,\,15\)

\( \Rightarrow 15\left( {{{16}^n} - 1} \right)\,\, \vdots \,\,225\) hay \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,225\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = n + 1\)

Vậy \(F\left( n \right) = {16^n} - 15n - 1\) chia hết cho \(225\) với mọi số tự nhiên \(n,\,\,n \ge 1.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link