Với mọi \(n > 1,\) chứng minh rằng: \(A = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3}

Câu hỏi số 361708:

Vận dụng cao

Với mọi \(n > 1,\) chứng minh rằng: \(A = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)...\left( {3n} \right)\) chia hết cho \({3^n}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361708

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

\(A = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)...3n\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1 \Rightarrow A = 2.3\,\, \vdots \,\,3\)

+) Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\) hay \({A_k} = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)...\left( {3k} \right)\,\, \vdots \,\,{3^k}\,\left( 2 \right)\) (giả thiết quy nạp)

+) Ta cần chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh: \({A_{k + 1}} = \left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)...\left[ {3\left( {k + 1} \right)} \right] \vdots {3^{k + 1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = \left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)...\left[ {3\left( {k + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)...\left( {3k + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{A_k}\left( {{3^k} + 1} \right)\left( {{3^k} + 2} \right)\,\end{array}\)

Vì \({A_{k\,\,}} \vdots \,\,{3^k};\,\,3\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 3{A_k}\,\, \vdots \,\,{3^{k + 1}} \Rightarrow {A_{k + 1}}\, \vdots \,\,{3^{k + 1}}.\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\)đúng với \(n = k + 1.\)

Vậy \(A = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)...\left( {3n} \right)\) chia hết cho \({3^n}\) với mọi \(n \ge 1.\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link