1) Cho biểu thức \(P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right),\) với

Câu hỏi số 364396:

Vận dụng

1) Cho biểu thức \(P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên thỏa mãn \(a + b + c = 2019.\) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P\) chia hết cho \(6.\)

2) Tìm tất cả số tự nhiên \(n\) để giá trị của biểu thức \(Q = \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \) là số nguyên.

A. \(2)\,\,n = 1.\)

B. \(2)\,\,n = 2.\)

C. \(2)\,\,n = 7.\)

D. \(2)\,\,n = 14.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:364396

Phương pháp giải

1) Sử dụng tính chất chia hết để làm bài.

2) Đánh giá biểu thức, biến đổi và chứng minh biểu thức đã cho là số nguyên.

Giải chi tiết

1) Cho biểu thức \(P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên thỏa mãn \(a + b + c = 2019.\) Chứng minh giá trị của biểu thức \(P\) chia hết cho \(6.\)

Ta có: \(a + b + c = 2019\) là số lẻ \( \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c\) cùng là số lẻ hoặc có hai trong ba số trên là số chẵn, một số là số lẻ.

Để chứng minh \(P\, \vdots \,\,6\) ta cần chứng minh \(P\,\, \vdots \,\,2\) và \(P\,\, \vdots \,\,3.\)

a) Chứng minh \(P\,\, \vdots \,\,2\)

TH1: Xét \(a,\,\,b,\,\,c\) cùng là số lẻ.

Vì \(a\) là số lẻ \( \Rightarrow a - 1\) là số chẵn và chia hết cho \(2 \Rightarrow P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right)\,\, \vdots \,\,\,2.\)

TH2: Xét \(a,\,\,b,\,\,c\) có hai trong ba số là số chẵn và một số là số lẻ.

\( \Rightarrow abc\) là số chẵn \( \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,\,2.\)

b) Chứng minh \(P\,\, \vdots \,\,3\)

Giả sử \(P\) không chia hết cho \(3.\) Khi đó ta xét:

+) \(a\left( {a - 1} \right)\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow a\) chia \(3\) dư \(2.\)

+) \(b\left( {b + 4} \right)\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow b\) chia \(3\) dư \(1.\)

\( \Rightarrow c = 2019 - a - b\,\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,3\) (mâu thuẫn với giả thiết).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,3.\\ \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,6.\end{array}\)

Vậy ta có \(P = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b + 4} \right)\left( {c + 6} \right)\) chia hêt cho \(6\) khi \(a + b + c = 2019.\)

2) Tìm tất cả số tự nhiên \(n\) để giá trị của biểu thức \(Q = \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \) là số nguyên.

Với \(\forall \,\,n \in \mathbb{N}\) ta có: \(Q = \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } > 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,Q = \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \\ \Leftrightarrow Q - \sqrt {n + 2} = \sqrt {n + \sqrt {n + 2} } \\ \Leftrightarrow {\left( {Q - \sqrt {n + 2} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {n + \sqrt {n + 2} } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {Q^2} - 2Q\sqrt {n + 2} + n + 2 = n + \sqrt {n + 2} \\ \Leftrightarrow {Q^2} + 2 = 2Q\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 2} \\ \Leftrightarrow {Q^2} + 2 = \sqrt {n + 2} \left( {2Q + 1} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \({Q^2} + 2 > 2;\,\,{Q^2} \in \mathbb{N}* \Rightarrow {Q^2} + 2 \in {\mathbb{Z}^ + }\)

\( \Rightarrow \sqrt {n + 2} \left( {2Q + 1} \right) \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow \sqrt {n + 2} \) là số hữu tỉ.

Không mất tính tổng quát, đặt \(\sqrt {n + 2} = \frac{a}{b}\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{N}*,\,\,\left( {a;\,\,b} \right) = 1} \right).\)

Khi đó ta có: \(n + 2 = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.\)

Vì \(n \in \mathbb{N} \Rightarrow n + 2 \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {a^2}\,\, \vdots \,\,{b^2}.\)

Mà \(\left( {a,\,\,b} \right) = 1 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow \sqrt {n + 2} = a \Rightarrow \sqrt {n + 2} \) là số nguyên dương.

\(\sqrt {n + 2} = \frac{{{Q^2} + 2}}{{2Q + 1}} \Rightarrow {Q^2} + 2\,\, \vdots \,\,2Q + 1.\)

Ta có: \(4\left( {{Q^2} + 2} \right) = 4{Q^2} + 8 = \left( {4{Q^2} - 1} \right) + 9 = \left( {2Q + 1} \right)\left( {2Q - 1} \right) + 9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9\,\, \vdots \,\,2Q + 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2Q + 1 = 3\\2Q + 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Q = 1\,\,\,\left( {ktm\,\,\,do\,\,Q > 1} \right)\\Q = 4\end{array} \right..\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {4^2} + 2 = 9.\sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt {n + 2} = 2\, \Leftrightarrow n + 2 = 4 \Leftrightarrow n = 2\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy số tự nhiên \(n\) thỏa mãn bài toán là \(n = 2.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link