Trong mặt phẳng cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) bất kỳ. Đặt \(a = BC,b = CA,c = AB.\) Tìm

Câu hỏi số 364468:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) bất kỳ. Đặt \(a = BC,b = CA,c = AB.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}.\)

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:364468

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đường trung tuyến và BĐT Cô si cho ba số không âm để tìm được GTNN của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}\) .

Giải chi tiết

Theo công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:

\(4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right) = 4{m_a}^2 + 3{a^2} \ge 4\sqrt 3 a{m_a} \Rightarrow a{m_a} \le \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\)

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC,\) khi đó:

\(\frac{{MA}}{a} = \frac{{MA.GA}}{{a.GA}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {GA} }}{{\frac{2}{3}.\frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)\overrightarrow {GA} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + G{A^2}} \right)\)

Từ đó, suy ra:

\(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right]\)

Lại có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 ;G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Do đó \(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{\left( {{b^2} + {a^2} + {c^2}} \right)}}\left[ {0 + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] = \sqrt 3 .\)

Đẳng thức xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều, đồng thời \(M\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.