Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\)

Câu hỏi số 365394:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Biết \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = {a^2}.\) Độ dài cạnh \(AC\) là:

A. \(AC = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

B. \(AC = a\sqrt 3 \)

C. \(AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(AC = a\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365394

Phương pháp giải

Ta biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) rồi sau đó thay theo giả thiết cho kết quả

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(M\) là điểm nằm trên \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\) nên ta có \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Đặt \(AB = x,AC = y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4{a^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

Mặt khác từ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,\,\,\left( {do{\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.