Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\)

Câu hỏi số 365394:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,M\) là điểm trên đoạn \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Biết \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = {a^2}.\) Độ dài cạnh \(AC\) là:

A. \(AC = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

B. \(AC = a\sqrt 3 \)

C. \(AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(AC = a\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365394

Phương pháp giải

Ta biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) rồi sau đó thay theo giả thiết cho kết quả

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(M\) là điểm nằm trên \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\) nên ta có \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Đặt \(AB = x,AC = y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4{a^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

Mặt khác từ \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,\,\,\left( {do{\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10