Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(I\) là điểm di động trên đường thẳng \(MC.\) Khi \(\left| {2\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số \(\frac{{AC}}{{AI}}?\)
Câu 365395: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(I\) là điểm di động trên đường thẳng \(MC.\) Khi \(\left| {2\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính tỉ số \(\frac{{AC}}{{AI}}?\)
A. \(\frac{{AC}}{{AI}} = 1\)
B. \(\frac{{AC}}{{AI}} = \frac{3}{2}\)
C. \(\frac{{AC}}{{AI}} = 2\)
D. \(\frac{{AC}}{{AI}} = \sqrt 2 \)
Xác định \(\left| {2\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào, sau đó vận dụng các giả thiết để tìm được tỉ số \(\frac{{AC}}{{AI}}.\)
-
Đáp án : D(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC.\)
Có \(\left| {2\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right| = 2IN\)
Do đó, \(\left| {2\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow I\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(MC.\)
Dựng hình vuông \(ABCD.\)
Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\) và \(H\) là giao điểm của \(AP\) và \(DN.\)
Ta chứng minh được \(DN \bot CM \Rightarrow I \in DN.\)
Lại có tứ giác \(AMCP\) là hình bình hành, suy ra \(AP//CM.\)
Do đó\(AP \bot DI\) và \(H\) là trung điểm của \(DI \Rightarrow \Delta AID\) cân tại \(A.\)
Vậy \(\frac{{AC}}{{AI}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \sqrt 2 .\)
Chọn D
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com