Cho phương trình \({x^4} - 2\left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + 5{m^2} + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right),\,\,\,m\)

Câu hỏi số 365668:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^4} - 2\left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + 5{m^2} + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right),\,\,\,m\) là tham số. Gọi các nghiệm của phương trình (1) là \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3},\,\,{x_4}\). Tính theo \(m\) giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} + \frac{1}{{x_3^2}} + \frac{1}{{x_4^2}}\).

A. \(P = - \frac{{4{m^2} + 8}}{{5{m^2} + 3}}\)

B. \(P = \frac{{4{m^2} + 8}}{{5{m^2} + 3}}\)

C. \(P = \frac{{ - 4{m^2} + 8}}{{5{m^2} + 3}}\)

D. \(P = \frac{{ - 4{m^2} + 8}}{{ - 5{m^2} + 3}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365668

Phương pháp giải

Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

+) Phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai.

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm \(x\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

\({x^4} - 2\left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + 5{m^2} + 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)t + 5{m^2} + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} - 1\left( {5{m^2} + 3} \right) = {m^4} + 4{m^2} + 4 - 5{m^2} - 3\\\,\,\,\,\,\, = {m^4} - {m^2} + 1 = \left[ {{{\left( {{m^2}} \right)}^2} - 2{m^2}\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right] + \frac{3}{4}\\\,\,\,\,\, = {\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall m\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {t_1} + {t_2} = 2\left( {{m^2} + 2} \right) > 0\\P = {t_1}{t_2} = 5{m^2} + 3 > 0\end{array} \right.\,\,\forall m\) .

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) luôn có nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\) dương phân biệt \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt với mọi m.

+) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm \({t_1},\,\,{t_2} > 0\) phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = {x^2} \Rightarrow {x_1} = \sqrt {{t_1}} ,\,\,{x_2} = - \sqrt {{t_1}} \\{t_2} = {x^2} \Rightarrow {x_3} = \sqrt {{t_2}} ,\,\,{x_4} = - \sqrt {{t_2}} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} + \frac{1}{{x_3^2}} + \frac{1}{{x_4^2}} = \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_2}}} = \frac{2}{{{t_1}}} + \frac{2}{{{t_2}}} = \frac{{2\left( {{t_1} + {t_2}} \right)}}{{{t_1}{t_2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2S}}{P} = \frac{{2.2\left( {{m^2} + 2} \right)}}{{5{m^2} + 3}} = \frac{{4{m^2} + 8}}{{5{m^2} + 3}}.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.