Giả sử phương trình \({x^3} - {x^2} + ax + b = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt. So sánh \({a^2}\) và

Câu hỏi số 365673:

Vận dụng

Giả sử phương trình \({x^3} - {x^2} + ax + b = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt. So sánh \({a^2}\) và \( - 3b\)

A. \({a^2} > - 3b\)

B. \({a^2} < - 3b\)

C. \({a^2} = - 3b\)

D. \({a^2} \le - 3b\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365673

Phương pháp giải

Dạng phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,\,\left( {a,b,c,d \in R} \right)\).

Phương trình nếu có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{ - b}}{a}\\T = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}\\P = {x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ - d}}{a}\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Giả sử phương trình \({x^3} - {x^2} + ax + b = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\).

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_3} = 1}\\{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = a}\\{{x_1}{x_2}{x_3} = - b}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + 3b = {\left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2}^2{x_3} + 2{x_1}^2{x_2}{x_3} + 2{x_1}{x_2}{x_3}^2 - 3{x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2}{x_3}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) - 3{x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 - {x_1}{x_2}{x_3}\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 - {x_1}{x_2}{x_3}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)\\ = {x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^2{x_3}^2 + {x_3}^2{x_1}^2 - x_1^2{x_2}{x_3} - {x_1}x_2^2{x_3} - {x_1}{x_2}x_3^2\\ = \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2{x_2}^2 - 2{x_1}x_2^2{x_3} + {x_2}^2{x_3}^2} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x_2}^2{x_3}^2 - 2{x_1}{x_2}x_3^2 + {x_3}^2{x_1}^2} \right) + \frac{1}{2}\left( {{x_3}^2{x_1}^2 - 2x_1^2{x_2}{x_3} + {x_1}^2{x_2}^2} \right)\\ = \frac{1}{2}{\left( {{x_1}{x_2} - {x_2}{x_3}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {{x_2}{x_3} - {x_3}{x_1}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {{x_3}{x_1} - {x_1}{x_2}} \right)^2}\\ = \frac{1}{2}{x_2}^2{\left( {{x_1} - {x_3}} \right)^2} + \frac{1}{2}{x_3}^2{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + \frac{1}{2}{x_1}^2{\left( {{x_3} - {x_1}} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = {x_3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \({a^2} + 3b > 0.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.