Xác định \(a\) sao cho phương trình \({x^4} - a{x^3} - \left( {2a + 1} \right){x^2} + ax + 1 = 0\) có hai

Câu hỏi số 365672:

Vận dụng

Xác định \(a\) sao cho phương trình \({x^4} - a{x^3} - \left( {2a + 1} \right){x^2} + ax + 1 = 0\) có hai nghiệm khác nhau và lớn hơn \(1?\)

A. \( - 4 + 2\sqrt 5 < a < \frac{1}{2}\)

B. \( - 4 - 2\sqrt 5 < a < \frac{1}{2}\)

C. \( - 4 + 2\sqrt 5 \le a \le \frac{1}{2}\)

D. \( - 4 - 2\sqrt 5 \le a \le \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365672

Phương pháp giải

Phương trình đối xứng: \(a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\) (1)

+) Thay \(x = 0\) vào phương tình xem thỏa mãn là nghiệm?

+) Với \(x \ne 0.\) Chia đều 2 vế phương trình cho \({x^2} \ne 0\): \(pt \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm \left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

+) Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2\sqrt k } \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {t^2} - 2k\)

\( \Rightarrow a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc 2.

(1) có 2 nghiệm \(x\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ac < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\\frac{{ - b}}{{2a}} > 0\,\,\left( {S > 0} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

\({x^4} - a{x^3} - \left( {2a + 1} \right){x^2} + ax + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Với \(x = 0\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 = 0\,\) (vô lý)\( \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của phương trình.

Với \(x \ne 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} - a{x^3} - \left( {2a + 1} \right){x^2} + ax + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - ax - \left( {2a + 1} \right) - \frac{a}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - a\left( {x - \frac{1}{x}} \right) - 2a - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Đặt \(t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow {t^2} + 2 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 2 - at - 2a - 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - at - 2a + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Tương ứng với mỗi \(t > 0\) ứng với một \(x > 1\)

Do đó, yêu cầu bài toán thoả mãn \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - 4\left( {1 - 2a} \right) > 0}\\{a > 0}\\{1 - 2a > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + 8a - 4 > 0}\\{a > 0}\\{a < \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > - 4 + 2\sqrt 5 \\x < - 4 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\\0 < a < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 + 2\sqrt 5 < a < \frac{1}{2}} \right.} \right.} \right.\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.