Phương trình \({x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\) có nghiệm khi:

Câu hỏi số 365676:

Vận dụng cao

A. \({b^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} > 3\)

B. \({b^2} - {\left( {c - 2} \right)^2} > 3\)

C. \({b^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} < 3\)

D. \({b^2} - {\left( {c - 2} \right)^2} < 3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365676

Phương pháp giải

Phương trình đối xứng \(a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\)

+) Thay \(x = 0\) vào phương tình xem thỏa mãn là nghiệm?

+) Với \(x \ne 0\). Chia đều 2 vế phương trình cho \({x^2} \ne 0\):

\(pt \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm \left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

+) Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2\sqrt k } \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {t^2} - 2k\)

\( \Rightarrow a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc 2.

Giải chi tiết

\({x^4} + b{x^3} + c{x^2} + b + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(x = 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

Vậy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.

+) Với \(x \ne 0,\) chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2}\) ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + c = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = x + \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {t^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2.\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2 + bt + c = 0 \Leftrightarrow - {t^2} = bt + c - 2\)

Theo Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( { - {t^2}} \right)^2} = {\left[ {bt + \left( {c - 2} \right)} \right]^2} \le {\left[ {{b^2} + \left( {c - 2} \right)} \right]^2} \le \left[ {{b^2} + {{\left( {c - 2} \right)}^2}} \right]\left( {{t^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge \frac{{{t^4}}}{{{t^2} + 1}}\end{array}\)

Để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì \(\left| t \right| \ge 2 \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Rightarrow {t^4} \ge 4{t^2} = 3{t^2} + {t^2} \ge 3{t^2} + 4 \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{{t^2} + 1}} > 3.\)

Vậy \({b^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} > 3\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.