Cho phương trình \({x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\). Định tất cả các giá

Câu hỏi số 365677:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\). Định tất cả các giá trị thực của \(b\) để phương trình \(\left( * \right)\) có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.

A. \(b < \frac{3}{2}\)

B. \(b > \frac{3}{2}\)

C. \(b \le \frac{3}{2}\)

D. \(b \ge \frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365677

Phương pháp giải

Phương trình đối xứng: \(a{x^4} \pm b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0\,\,\left( {k > 0} \right)\)

+) Thay \(x = 0\) vào phương tình xem thỏa mãn là nghiệm?

+) Với \(x \ne 0\). Chia đều 2 vế phương trình cho \({x^2} \ne 0\):

\(pt \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}}} \right) \pm \left( {x + \frac{k}{x}} \right) + c = 0\)

+) Đặt \(t = x + \frac{k}{x}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2\sqrt k } \right) \Rightarrow {x^2} + \frac{{{k^2}}}{{{x^2}}} = {t^2} - 2k\)

\( \Rightarrow a\left( {{t^2} - 2k} \right) \pm bt + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình bậc 2.

Giải chi tiết

\(x = 0\) không là nghiệm của \(\left( * \right)\)

Chia cả hai vế của \(\left( * \right)\) cho \({x^2},\) ta có: \(\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 = 0\)

Đặt \(t = x + \frac{1}{x},\left| t \right| \ge 2,\) ta có: \({t^2} + bt - 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

\(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm trái dấu \({t_1},{t_2}:{t_1} < 0 < {t_2}\) thì \({t_1} = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} + 4} }}{2};{t_2} = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} + 4} }}{2}\)

Xem hai phương trình sau: \(\left[ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = {t_1} \Leftrightarrow {x^2} - {t_1}x + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\\x + \frac{1}{x} = {t_2} \Leftrightarrow {x^2} - {t_2}x + 1 = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

+) Với \({t_2} > 0:\) Nếu \(\left( 3 \right)\) có nghiệm thì cả hai nghiệm của \(\left( 3 \right)\) đều dương \(\left( {P = 1 > 0;S = {t_2} > 0} \right)\)

+) Với \({t_1} > 0:\) Nếu \(\left( 2 \right)\) có nghiệm thì cả hai nghiệm của \(\left( 2 \right)\) đều âm \(\left( {P = 1 > 0;S = {t_1} < 0} \right)\)

Vậy điều kiện để \(\left( * \right)\) có không ít hơn hai nghiệm âm là phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {{t_1}} \right| \ge 2 \Rightarrow {t_1} \le - 2 \Leftrightarrow \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} + 4} }}{2} \le - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} + 4} \ge 4 - b\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - b \le 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - b > 0}\\{{b^2} + 4 > {b^2} - 8b + 16}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b \ge 4}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < 4}\\{b > \frac{3}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b \ge 4}\\{\frac{3}{2} < b < 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow b > \frac{3}{2}} \right.} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.