Cho a, b, c là ba số thự thỏa mãn ≤ 4abc. Chứng minh rằng: ≤ 2014

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 36581:

Cho a, b, c là ba số thự thỏa mãn $\left ( \frac{a+b+c}{2014} \right )^{2}$ ≤ 4abc. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}}$ ≤ 2014

A. Click để xem đáp án.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:36581

Giải chi tiết

Theo giả thiết a, b, c > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số thực a, $\sqrt{bc}$ ta có:

a + $\sqrt{bc}$ ≤ 2 $\sqrt{a}$ . $\sqrt[4]{bc}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}\leq \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt[4]{b}}.\frac{1}{\sqrt[4]{c}}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = $\sqrt{bc}$ > 0 và $\sqrt[4]{b}=\sqrt[4]{c}$ > 0

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )$ , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

- Tương tự $\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}} \right )$ , dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

$\frac{\sqrt{c}}{b+\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi c = $\sqrt{ab}$ > 0

Do đó: $\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )=\frac{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}}{\sqrt{abc}}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 (1)

- Áp dụng BĐT Co-si có $\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}$ = a + b + c

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0 (2)

Từ (1) và (2) có $\frac{\sqrt{a}}{a+a+b+c}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{ab}}\leq \frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}$ . Dấu "=" xảy ra khi a = b = c > 0 (3)

- Theo giả thiết $\left ( \frac{a+b+c}{2014} \right )^{2}$ ≤ 4abc, với a, b, c > 0

thì a + b + c ≤ 4028 $\sqrt{abc}$ (4)

Từ (3) , (4) => $\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{c}}{a+\sqrt{ab}}$ ≤ 2014

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = $\left ( \frac{3}{4028} \right )^{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.