Cho tam giác \(ABC\) nhọn có \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R,\) vẽ \(AH\)

Câu hỏi số 366793:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn có \(AB < AC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R,\) vẽ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H,\) vẽ đường kính \(AD\) cắt \(BC\) tại \(I,\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(IM\) song song với \(CD.\)

1. Chứng minh: Tứ giác \(AHIM\) nội tiếp một đường tròn.

2. Chứng minh: \(AB.AC = AH.AD.\)

3. Chứng minh: \(HM\) là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABH.\)

4. Chứng minh: \(AB.CD + AC.BD < 4{R^2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366793

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng các dấu hiệu nhận biết.

2. Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta ACD\) để suy ra tỉ số bằng nhau

3. Sử dụng định đường tiếp tuyến để chứng minh.

Giải chi tiết

1. Chứng minh: Tứ giác \(AHIM\) nội tiếp một đường tròn.

Ta có: \(\angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vì \(IM//CD\) nên \(\angle AMI = \angle ACD = {90^0}\)

\(\begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\,\, \Rightarrow \angle AHI = {90^0}\\ \Rightarrow \angle AHI + \angle AMI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AHIM\) nội tiếp một đường tròn (đpcm).

2. Chứng minh: \(AB.AC = AH.AD.\)

Xét hai tam giác \(AHB\) và \(ACD\) có:

\(\angle AHB = \angle ACD = {90^0}\)

\(\angle ABH = \angle ADC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta ACD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{HA}}{{CA}}\,\, \Rightarrow AB.AC = AH.AD\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

3. Chứng minh: \(HM\) là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABH.\)

Gọi \(O'\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABH\)

Vì \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\,\, \Rightarrow O'\) là trung điểm của \(AB.\)

\(\Delta AO'H\) cân tại \(O\,\, \Rightarrow \angle O'HA = \angle O'AH\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác \(AHIM\) nội tiếp một đường tròn \( \Rightarrow \angle AHM = \angle AIM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\))

\(IM//CD\,\, \Rightarrow \angle AIM = \angle ADC\) (hai góc đồng vị)

\(\angle ADC = \angle ABH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \angle AHM = \angle ABH\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\,\, \Rightarrow \angle O'HA + \angle AHM = \angle O'AH + \angle ABH = {90^0}\)

\( \Rightarrow MH \bot O'H\,\, \Rightarrow HM\) là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABH\) (đpcm).

4. Chứng minh: \(AB.CD + AC.BD < 4{R^2}.\)

Ta có: \(\Delta AHB \sim ACD\) (theo a) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{CD}}\,\, \Rightarrow AB.CD = BH.AD\,\,\,\left( 3 \right)\)

Có: \(\angle ABD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta ABD\) có:

\(\angle AHC = \angle ABD = {90^0}\)

\(\angle ACH = \angle ADB\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHC \sim ABD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{HC}}{{BD}}\,\,\, \Rightarrow AC.BD = HC.AD\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\,\, \Rightarrow AC.BD + AB.CD = AD.HC + BH.AD\)

\( \Rightarrow AB.CD + AC.BD = AD.\left( {HB + HC} \right) = AD.BC\)

Mà \(BC < 2R\,\,;\,\,AD = 2R\) nên \(AB.CD + AC.BD < 4{R^2}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link