Cho các số \(a,b,c,d \in {N^*}\) và thỏa mãn \(ab = cd\). Số \(a + b + c + d\) có thể là số nguyên tố

Câu hỏi số 366844:

Vận dụng cao

Cho các số \(a,b,c,d \in {N^*}\) và thỏa mãn \(ab = cd\). Số \(a + b + c + d\) có thể là số nguyên tố không?

A. Có

B. Không

C. Không xác định được

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366844

Phương pháp giải

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Tính chất chia hết liên quan đến sô nguyên tố.

Nếu \(ab \,\,\vdots\,\, p\) (p là số nguyên tố) thì \(a\,\, \vdots \,\,p\) hoặc \(b \,\,\vdots\,\, p\)

Giải chi tiết

Ta có với mọi số tự nhiên \(d \in {\mathbb{N}^*}\) ta đều có thể viết được \(d = {d_1}.{d_2}\left( {{d_1},{d_2} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Từ \(ab = cd\) ta có các trường hợp:

1) Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) không có số lẻ nào hoặc chỉ có hai số lẻ.

Khi đó \(a + b + c + d\) là số chẵn lớn hơn \(2.\)

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số.

2) Một trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là số chẵn còn lại ba số lẻ.

Điều này không xảy ra vì \(ab = cd.\)

3) Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) có ba số chẵn và một số lẻ.

Chẳng hạn: \(a,\,\,b,\,\,c\) chẵn và \(d\) lẻ. Từ \(ab = cd \Rightarrow ab \vdots d\)

Nếu \(d\) là số nguyên tố thì \(a\,\, \vdots \,\,d\) hoặc \(b{\kern 1pt} {\kern 1pt} \, \vdots \,\,\,d\)

Giả sử \(b \vdots d \Rightarrow b = kd \Rightarrow ab = akd = cd\) hay \(c = ka\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d = a + kd + ka + d = \left( {k + 1} \right)\left( {a + d} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d\) là hợp số.

Nếu \(d = {d_1}{d_2} \Rightarrow ab = cd \Rightarrow ab = c{d_1}{d_2}.\)

Ta có: \(a = {k_1}{d_1},\,\,\,b = {k_2}{d_2}\) hoặc \(a = {k_1}{d_2},b = {k_2}{d_1}\)

\( \Rightarrow ab = cd = {k_1}{k_2}{d_1}{d_2} = {k_1}{k_2}d \Rightarrow c = {k_1}{k_2}\)

Vậy \(a + b + c + d = {k_1}{d_1} + {k_2}{d_2} + {k_1}{k_2} + {d_2}{d_2} = \left( {{k_1} + {d_2}} \right)\left( {{k_2} + {d_1}} \right).\)

Do \({k_1},{k_2},{d_1},{d_2} \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(a + b + c + d\) là hợp số.

Vậy \(a + b + c + d\) không thể là số nguyên tố.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link