Cho phương trình \({\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = - {\log _3}m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm?

Câu 367338: Cho phương trình \({\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = - {\log _3}m\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm?

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. Vô số.

Câu hỏi : 367338

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định điều kiện xác định của phương trình.

Biến đổi phương trình, cô lập \(m\) và khảo sát hàm số, lập bảng biến thiên và tìm \(m.\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > \frac{1}{3};\,\,m > 0.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = - {\log _3}m\\ \Leftrightarrow {\log _{{3^2}}}{x^2} - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = - {\log _3}m\\ \Leftrightarrow {\log _3}x - {\log _3}\left( {3x - 1} \right) = - {\log _3}m\\ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{3x - 1}}{x} = {\log _3}m\\ \Leftrightarrow m = \frac{{3x - 1}}{x}.\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{x}\) với \(x \in \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right).\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{3x - 3x + 1}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right).\)

Ta có bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình đã cho có nghiệm là số giao điểm của đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{x}.\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow 0 < m < 3.\)

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.