Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:

Câu 367339: Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{{14}}\)

B. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{7}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)

D. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{{28}}\)

Câu hỏi : 367339

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đổi đỉnh để tính khoảng cách cần tính.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Đáp án : B
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB.\)

Lại có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{HB}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right).\)

Kẻ \(HK \bot BD,\,\,\,HI \bot SK.\)

\( \Rightarrow HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = HI.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

\(HK = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SHK\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HI\) ta có:

\(\begin{array}{l}HI = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\\ \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {D;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2.HI = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{14}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\end{array}\)

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.