Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và

Câu hỏi số 367339:

Vận dụng

Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{{14}}\)

B. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{7}\)

C. \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)

D. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{{28}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:367339

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc đổi đỉnh để tính khoảng cách cần tính.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB.\)

Lại có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(\frac{{AB}}{{HB}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right).\)

Kẻ \(HK \bot BD,\,\,\,HI \bot SK.\)

\( \Rightarrow HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = HI.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

\(HK = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SHK\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HI\) ta có:

\(\begin{array}{l}HI = \frac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\\ \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {D;\,\,\left( {SBD} \right)} \right) = 2.HI = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{14}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.