Cho đường thẳng \(y = x\) và parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô màu trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 367344: Cho đường thẳng \(y = x\) và parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + a\) (\(a\) là tham số thực dương). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô màu trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\frac{3}{7};\,\,\frac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( {0;\,\,\frac{1}{3}} \right)\)

C. \(\left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{2}{5}} \right)\)

D. \(\left( {\frac{2}{5};\,\,\frac{3}{7}} \right)\)

Câu hỏi : 367344

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} + a = x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {1 - 2a} \\{x_2} = 1 + \sqrt {1 - 2a} \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {a < \frac{1}{2}} \right).\)

Đặt \(t = \sqrt {1 - 2a} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = 1 - 2a \Leftrightarrow a = \frac{{1 - {t^2}}}{2}.\)

Xét hàm số:\(g\left( x \right) = {x^2} - x + a\) và \(\int {g\left( x \right)dx} = G\left( x \right) + C.\)

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {g\left( x \right)dx} = G\left( {{x_1}} \right) - G\left( 0 \right)\\{S_2} = - \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {g\left( x \right)dx} = G\left( {{x_1}} \right) - G\left( {{x_2}} \right)\end{array} \right..\)

Lại có: \({S_1} = {S_2} \Rightarrow G\left( {{x_2}} \right) = G\left( 0 \right) \Rightarrow \frac{1}{6}x_2^3 - \frac{1}{2}x_2^2 + a{x_2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x_2^2 - 3{x_2} + 6a = 0 \Rightarrow {\left( {1 + t} \right)^2} - 3\left( {1 + t} \right) + 6\left( {\frac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 - 3t - 3 + 3 - 3{t^2} = 0\\ \Leftrightarrow - 2{t^2} - t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = \frac{{1 - \frac{1}{4}}}{2} = \frac{3}{8}\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.