Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao bằng \(8\) và đáy là tam giác đều cạnh bằng \(6.\) Gọi \(M,\,\,N\) và \(P\) lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,\,\,ACC'A'\) và \(BCC'B'.\) Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,M,\,\,N,\,\,P\) bằng:

Câu 367346: Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao bằng \(8\) và đáy là tam giác đều cạnh bằng \(6.\) Gọi \(M,\,\,N\) và \(P\) lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A',\,\,\,ACC'A'\) và \(BCC'B'.\) Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,M,\,\,N,\,\,P\) bằng:

A. \(27\sqrt 3 \)

B. \(21\sqrt 3 \)

C. \(30\sqrt 3 \)

D. \(36\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 367346

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\).

+) Sử dụng phương pháp tổng, hiệu thể tích.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(V\) là thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Gọi \({A_1},\,\,{B_1},\,\,{C_1}\) lần lượt là trung điểm của \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\). Khi đó ta có \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)//\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\).

Khi đó \({V_{ABCMN}} = {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} - {V_{A.{A_1}MN}} - {V_{B.{B_1}MP}} - {V_{C.{C_1}NP}}\).

Ta có \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}V\).

\({V_{A.{A_1}MN}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)} \right).{S_{{A_1}MN}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right).\frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{{24}}V\).

CMTT ta có \({V_{B.{B_1}MP}} = {V_{C.{C_1}NP}} = \frac{V}{{24}}\).

\( \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{1}{2}V - 3.\frac{V}{{24}} = \frac{{3V}}{8}\).

Ta có \(V = 8.\frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 72\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABCMN}} = \frac{{3.72\sqrt 3 }}{8} = 27\sqrt 3 \)

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.