Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z + \sqrt2} \right)^2} = 3.$ Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ ($a,\,\,b,\,\,c$ là các số nguyên) thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua $A$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

Câu 367347: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z + \sqrt2} \right)^2} = 3.$ Có tất cả bao nhiêu điểm $A\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ ($a,\,\,b,\,\,c$ là các số nguyên) thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ đi qua $A$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. $12$

B. $8$

C. $16$

D. $4$

Câu hỏi : 367347

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Mặt cầu $\left( S \right):\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=3$ có tâm $I\left( 0;\,\,0;-\sqrt{2} \right)$ và bán kính $R=\sqrt{3}.$

Ta có: $A\left( a;\,\,b;\,\,c \right)\in \left( Oxy \right)\Rightarrow c=0\Rightarrow A\left( a;\,\,b;\,\,0 \right)$.

Để từ $A$ kẻ được ít nhất $2$ tiếp tuyến vuông góc với nhau đến mặt cầu $\left( S \right)$ thì $R\le IA\le R\sqrt{2}$.

$\Leftrightarrow \sqrt{3}\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}\le \sqrt{6}\Leftrightarrow 3\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\le 6\Leftrightarrow 1\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4$, do đó tập hợp các điểm A là hình vành khăn (tính cả biên) giữa hai đường tròn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4$.

Ta có $1\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 4$. Mà $a,\,\,b\in \mathbb{Z}\Rightarrow {{a}^{2}}\le 4\Rightarrow x\in \left\{ 0;\pm 1;\pm 2 \right\}$.

Ta có bảng giá trị:

Như vậy có tất cả $12$ điểm $A$ thỏa mãn bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.