Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy

Câu hỏi số 368271:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(M\) không trùng với \(A\) hoặc \(B.\) Hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(M\) cắt nhau tại điểm \(C.\)

a) Chứng minh tứ giác \(OACM\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(MA.MO = MB.MC.\)

c) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM.\) Chứng minh \(AC = CD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:368271

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng, từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

c) Sử dụng tính chất của tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các cạnh bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(OACM\) nội tiếp.

Ta có: \(CM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại\(M \Rightarrow OM \bot MC \Rightarrow \angle OMC = {90^0}.\)

\(AC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A \Rightarrow OA \bot CA \Rightarrow \angle OAC = {90^0}.\)

Xét tứ giác \(OACM\) ta có: \(\angle CAO + \angle OMC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện.

\( \Rightarrow OACM\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh \(MA.MO = MB.MC.\)

Ta có: \(\angle AMC = \angle ABM\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AM\))

Xét \(\Delta OMB\) ta có: \(OM = OB = R \Rightarrow \Delta OMB\) là tam giác cân tại \(O.\)

\( \Rightarrow \angle OMB = \angle OBM.\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(\Delta CAM\) ta có: \(CA = CM\) (tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow \Delta CAM\) là tam giác cân tại \(C.\)

\( \Rightarrow \angle CAM = \angle CMA.\) (tính chất tam giác cân)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle OMB = \angle MBO = \angle CMA = \angle CAM.\\ \Rightarrow \Delta CAM \sim \Delta OBM\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{MC}}{{MO}} \Leftrightarrow MA.MO = MB.MC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM.\) Chứng minh \(AC = CD.\)

Ta có: \(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow AM \bot BM\,\,hay\,\,\,AM \bot BD \Rightarrow \angle AMD = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta AMD\) là tam giác vuông tại \(M.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle ADM + \angle DAM = {90^0}\\\angle CMA + \angle CMD = {90^0}\end{array} \right.\)

Mà \(\angle CAM = \angle CMA\,\,\,\left( {cm\,\,b} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ADM = \angle DMC\,\,\,hay\,\,\,\angle CDM = CMD\)

\( \Rightarrow \Delta CMD\) là tam giác cân tại \(C \Rightarrow CD = CM\)

Mặt khác: \(CA = CM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow CD = CA\,\,\left( { = CM} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link