Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 36830:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= $\frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}$

A. Min P = 9

B. Min P = 8

C. Min P = 7

D. Min P = 6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:36830

Giải chi tiết

Ta có: $\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+1 \geq \frac{3}{xy}; \frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}+1 \geq \frac{3}{yz}; \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+1 \geq \frac{3}{zx}$

Suy ra $\frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ 3\geq \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}$

Suy ra

P + 3 ≥ $\frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}$

Mặt khác , áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ với a , b > 0 ta có

P + 3 ≥ $\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+ (\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}})+(\frac{1}{yz}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}})+ (\frac{1}{zx}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}})$

≥ $\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4}{y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{z^{2}+x^{2}}$ = $4(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}})+4(\frac{1}{2yz}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}})+4(\frac{1}{2zx}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})$

≥ $\frac{16}{(x+y)^{2}}+\frac{16}{(y+z)^{2}}+\frac{16}{(z+x)^{2}}\geq 16.\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}}}$

≥ 16. $\frac{3.9}{(2x+2y+2z)^{2}}\geq 16.\frac{3.9}{4.3^{2}}$ = 12

Do đó P ≥ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x = y = z = 1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.