a) Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 369075:

Vận dụng

a) Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thỏa mãn \(P(9) - P(6) = 2019\). Chứng minh \(P(10) - P(7)\)là một số lẻ.

b) Tìm các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2}y + x + y\) chia hết cho \(x{y^2} + y + 1\).

A. \({\rm{b) }}\left( {x;y} \right) = \left( {m;2m} \right)\)

B. \({\rm{b)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {2m;m} \right)\)

C. \({\rm{b)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {{m^2};m} \right)\)

D. \({\rm{b)}}\,\,\left( {x;y} \right) = \left( {m;{m^2}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:369075

Phương pháp giải

a) Tính giá trị của biểu thức \(P\left( x \right)\) tại các giá trị \(x = 9,\,\,x = 6,\,\,x = 10,\,\,x = 7.\)

Biến đổi và chứng minh biểu thức.

b) Sử dụng tính chất chia hết trong tập số tự nhiên để loại trường hợp

Giải chi tiết

a) Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thỏa mãn \(P(9) - P(6) = 2019\). Chứng minh \(P(10) - P(7)\)là một số lẻ.

Xét hàm số: \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P\left( 9 \right) - P\left( 6 \right) = 2019\\ \Leftrightarrow 81a + 9b + c - 36a - 6b - c = 2019\\ \Leftrightarrow 45a + 3b = 2019\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}P\left( {10} \right) - P\left( 7 \right) = 100a + 10b + c - 49a - 7b - c\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 51a + 3b\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 96a + 6b - \left( {45a + 3b} \right)\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 96a + 6b - 2019\end{array}\)

Ta có: \(96a,\,\,\,6b\) là số chẵn \( \Rightarrow 96a + 6b - 2019\) là số lẻ.

Hay \(P\left( {10} \right) - P\left( 7 \right)\) là số lẻ.

b) Tìm các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2}y + x + y\) chia hết cho \(x{y^2} + y + 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{x^2}y + x + y} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( {{x^2}y + x + y} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\\x\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow y\left( {{x^2}y + x + y} \right) - x\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\\ \Rightarrow {y^2} - x\,\, \vdots \,\,\left( {x{y^2} + y + 1} \right)\end{array}\)

TH1: \({y^2} = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = m\\x = {m^2}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}y + x + y = {m^5} + {m^2} + m = m\left( {{m^4} + m + 1} \right)\\x{y^2} + y + 1 = {m^4} + m + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x^2}y + x + y\,\, \vdots \,\,\,x{y^2} + y + 1.\)

TH2: \({y^2} > x.\)

Ta có: \(x{y^2} + y + 1 \le {y^2} - x \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){y^2} + y + x + 1 \le 0\)(vô lý do\(x,y \ge 1\))

TH3: \({y^2} < x\)

Ta có: \(x{y^2} + y + 1 \ge {y^2} - x \Leftrightarrow x\left( {{y^2} - 1} \right) + {y^2} + y + 1 \le 0\) (vô lý do \(x,y \ge 1\))

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {{m^2};m} \right)\) với mọi \(m \in {\mathbb{N}^*}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link