Cho các số thực dương \(a,b,c\) thảo mãn \(abc = a + b + c + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 369076:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thảo mãn \(abc = a + b + c + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }}.\)

A. \({P_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

B. \({P_{\max }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\)

C. \({P_{\max }} = \sqrt 2 \)

D. \({P_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:369076

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ và sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có:

\(abc = a + b + c + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} + \frac{2}{{abc}} = 1\)

Đặt \(\frac{1}{a} = \frac{x}{{y + z}};\,\,\frac{1}{b} = \frac{y}{{z + x}};\,\,\frac{1}{c} = \frac{z}{{x + y}}\,\,\,\,\left( {x,\,y,\,\,\,z > 0} \right)\)

Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số dương ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ac\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {2ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {2bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {2ca} }}\)

Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {2ab} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 .\sqrt {ab} }} = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} .\frac{1}{{\sqrt 2 }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Tương tự ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2bc} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{x + z}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\frac{1}{{\sqrt {2bc} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{y + z}} + \frac{x}{{x + y}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta có: \(P \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Dấu “=” xảy ra\( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 2.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link