Cho các số thực dương \(a,b,c\) thảo mãn \(abc = a + b + c + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 369076:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thảo mãn \(abc = a + b + c + 2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }}.\)

A. \({P_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

B. \({P_{\max }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\)

C. \({P_{\max }} = \sqrt 2 \)

D. \({P_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:369076

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ và sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có:

\(abc = a + b + c + 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} + \frac{2}{{abc}} = 1\)

Đặt \(\frac{1}{a} = \frac{x}{{y + z}};\,\,\frac{1}{b} = \frac{y}{{z + x}};\,\,\frac{1}{c} = \frac{z}{{x + y}}\,\,\,\,\left( {x,\,y,\,\,\,z > 0} \right)\)

Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số dương ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ac\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{c^2} + {a^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt {2ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {2bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {2ca} }}\)

Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {2ab} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 .\sqrt {ab} }} = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} .\frac{1}{{\sqrt 2 }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Tương tự ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2bc} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{x + z}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\frac{1}{{\sqrt {2bc} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{z}{{y + z}} + \frac{x}{{x + y}}} \right).\frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta có: \(P \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).

Dấu “=” xảy ra\( \Leftrightarrow x = y = z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 2.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link