Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Lấy điểm \(C\) khác \(A\) và \(B\) trên

Câu hỏi số 369474:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Lấy điểm \(C\) khác \(A\) và \(B\) trên đường tròn \(\left( {CA > CB} \right).\) Trên cung nhỏ \(AC\) lấy điểm \(M\) khác \(A\) và \(C.\) Vẽ \(ME \bot AB\) tại \(E.\) Đoạn thẳng \(ME\) và \(AC\) cắt nhau tại \(D.\) Chứng minh rằng:

a) \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(A{M^2} = AD.AC.\)

c) Vẽ dây \(CG\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AB.\) Tia \(GE\) cắt đường tròn tại \(H\,\left( {H \ne G} \right).\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên cung nhỏ \(AC\) thì đường thẳng \(HD\) luôn đi qua điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:369474

Phương pháp giải

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) Chứng minh tứ giác \(AHDE\) là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh \(HD\) và \(HB\) cùng vuông góc với \(AH\), từ đó suy ra \(H,\,\,D,\,\,B\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(ME \bot AB = \left\{ E \right\} \Rightarrow \angle MEB = {90^0}\,\,hay\,\,\,\angle DEB = {90^0}.\)

Lại có: \(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle ACB = {90^0} = \angle DCB.\)

Tứ giác \(BCDE\) có \(\angle BCD + \angle DEB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow BCDE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) \(A{M^2} = AD.AC.\)

Ta có: \(\angle AMB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)

\(\angle AMB = {90^0} \Rightarrow \Delta AMB\) vuông tại \(M.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\) có đường cao \(ME\) ta có: \(A{M^2} = AE.AB.\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle A\,\,\,chung\\\angle AED = \angle ACB = {90^0}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow AD.AC = AE.AB\\ \Rightarrow A{M^2} = AD.AC\,\,\left( { = AE.AB} \right)\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Vẽ dây \(CG\) của đường tròn \(\left( O \right)\) vuông góc với \(AB.\) Tia \(GE\) cắt đường tròn tại \(H\,\left( {H \ne G} \right).\) Chứng minh rằng khi điểm \(M\) di chuyển trên cung nhỏ \(AC\) thì đường thẳng \(HD\) luôn đi qua điểm cố định.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CG \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\ME \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CG//AB\) (từ vuông góc đến song song).

\( \Rightarrow \angle ADE = \angle ACG\) (đồng vị).

Mà \(\angle AHG = \angle ACG\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AG\))

\( \Rightarrow \angle AHG = \angle ADE = \angle AHE \Rightarrow \) Tứ giác \(AHDE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle AHD + \angle AED = {180^0}\) (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mà \(\angle AED = \angle AEM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AHD = {90^0} \Rightarrow AH \bot HD\).

Ta có \(\angle AHB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AH \bot HB\).

Từ đó theo tiên đề Ơ-clit ta có \(HD \equiv HB\) hay \(H,\,\,D,\,\,B\) thẳng hàng.

Vậy đường thẳng \(HD\) luôn đi qua điểm \(B\) cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link