Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + m + 4\,\,\) (\(m\) là tham số) a. Tìm \(m\) để hàm số đã cho
Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + m + 4\,\,\) (\(m\) là tham số)
a. Tìm \(m\) để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên \(R.\)
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm, tìm \(m\) sao cho \({x_1}.\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right) = 18\)
c. Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(\left( d \right)\) . Chứng minh khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;0} \right)\) đến \(\left( d \right)\) không lớn hơn \(\sqrt {65} .\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
a) Hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow a > 0.\)
b) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
\(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right).\)
Áp dụng định lý Vi-et để tìm \(m.\)
c) Vẽ đồ thị hàm số, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh bài toán.
Cho hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + m + 4\,\,\) (m là tham số)
a. Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R.
Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biến trên R khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 4 \ne 0\\m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\m > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4.\)
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) tại hai điểm phân biệt. Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm, tìm m sao cho \({x_1}.\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right) = 18\)
Gọi đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 4} \right)x + m + 4\,\,\) là đường thẳng (d).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (d) và parabol (P):
\({x^2} = \left( {m - 4} \right)x + m + 4\,\, \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 4} \right)x - m - 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Số giao điểm của (d) và (P) đồng thời cũng là số nghiệm của phương trình (*).
Có các hệ số: \(a = 1;\,\,\,b = - \left( {m - 4} \right);\,\,\,c = - m - 4\).
Ta có: \(\Delta = {\left( {m - 4} \right)^2} + 4\left( {m + 4} \right) = {m^2} - 8m + 16 + 4m + 16 = {m^2} - 4m + 4 + 28 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 28\)
Ta có: \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0,\forall m \Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 28 > 0,\forall m\,\,\,hay\,\,\Delta > 0,\forall m\) .
Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) hay (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 4\\{x_1}{x_2} = - m - 4\end{array} \right.\)
Theo đề ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x_1}.\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right) = 18\\ \Leftrightarrow x_1^2 - {x_1} + x_2^2 - {x_2} - 18 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} - 2\left( { - m - 4} \right) - \left( {m - 4} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 + 2m + 8 - m + 4 - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\left( {tm} \right)\\m = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = 2,\,\,m = 5\) là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c. Gọi đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(\left( d \right).\) Chứng minh khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến \(\left( d \right)\) không lớn hơn \(\sqrt {65} .\)
Ta có: \(\left( d \right):\,\,\,y = \left( {m - 4} \right)x + m + 4.\)
+) Xét TH \(m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\) ta có: \(\left( d \right):\,\,\,y = 8\) là đường thẳng song song với trục hoành
\( \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( d \right)} \right) = 8 = \sqrt {64} < \sqrt {65} .\)
\( \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( d \right)} \right) < \sqrt {65} \) với \(m = 4.\)
+) Xét TH \(m - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 4\) ta có:
Gọi \(A\) giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục \(Ox \Rightarrow A\left( {{x_A};\,\,0} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = \left( {m - 4} \right){x_A} + m + 4 \Leftrightarrow {x_A} = - \frac{{m + 4}}{{m - 4}} \Rightarrow A\left( { - \frac{{m + 4}}{{m - 4}};\,\,0} \right)\\ \Rightarrow OA = \left| {{x_A}} \right| = \left| { - \frac{{m + 4}}{{m - 4}}} \right| = \left| {\frac{{m + 4}}{{m - 4}}} \right|.\end{array}\)
Gọi \(B\) giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với trục \(Oy \Rightarrow B\left( {0;\,\,{y_B}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_B} = \left( {m - 4} \right).0 + m + 4 = m + 4 \Rightarrow B\left( {0;\,\,m + 4} \right).\\ \Rightarrow OB = \left| {{y_B}} \right| = \left| {m + 4} \right|.\end{array}\)
Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right).\) Khi đó ta có: \(d\left( {O;\,\,\left( d \right)} \right) = OH.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\left| {\frac{{m + 4}}{{m - 4}}} \right|} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\left| {m + 4} \right|} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{{{\left( {m - 4} \right)}^2}}}{{{{\left( {m + 4} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {m + 4} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {m + 4} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{{{\left( {m + 4} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 1}}.\end{array}\)
Giả sử khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) không lớn hơn \(\sqrt {65} \Leftrightarrow d\left( {O;\,\,\left( d \right)} \right) \le \sqrt {65} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow OH \le \sqrt {65} \Leftrightarrow O{H^2} \le 65\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 4} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 1}} \le 65\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 4} \right)^2} \le 65\left[ {{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 1} \right]\,\,\,\,\left( {do\,\,{{\left( {m - 4} \right)}^2} + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 \le 65{m^2} - 520m + 1105\\ \Leftrightarrow 64{m^2} - 528m + 1089 \ge 0\\ \Leftrightarrow 64{m^2} - 2.8m.33 + {33^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {8m - 33} \right)^2} \ge 0\,\,\,\end{array}\)
Ta có: \({\left( {8m - 33} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow O{H^2} \le 65\,\,\,\forall m \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( d \right)} \right) = OH \le \sqrt {65} \)
\( \Rightarrow d\left( {O;\,\,\left( d \right)} \right)\) không lớn \(\sqrt {65} \) với mọi \(m \ne 4.\)
Kết hợp hai trường hợp trên ta được khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) không lớn hơn \(\sqrt {65} .\)
Đáp án cần chọn là: A
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
