Chứng minh tổng của \(n\) số lẻ đầu tiên là một số chính phương.

Câu hỏi số 370046:

Thông hiểu

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370046

Phương pháp giải

Nếu số \(a\) chia hết cho \(x\) nhưng không chia hết cho \({x^2}\) thì số đó không phải số chính phương.

Giải chi tiết

Ta có tổng của \(n\) số lẻ đầu tiên là: \(S = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + \left( {2n - 3} \right) + \left( {2n - 1} \right).\)

TH1: Với \(n = 2k\,\,\,\) (\(n\) chẵn).

Ta có: \(S = 1 + 3 + 5 + .... + \left( {2.2k - 1} \right) = 1 + 3 + 5 + .... + \left( {4k - 1} \right).\)

Số các số hạng của tổng \(S\) là: \(\frac{{4k - 1 - 1}}{2} + 1 = 2k - 1 + 1 = 2k\) (số hạng).

\( \Rightarrow S = \left( {4k - 1 + 1} \right).2k:2 = 4{k^2} = {\left( {2k} \right)^2}.\)

\( \Rightarrow S\) là một số chính phương.

TH2: Với \(n = 2k + 1\) (\(n\) lẻ).

Ta có: \(S = 1 + 3 + 5 + .... + \left[ {2\left( {2k + 1} \right) - 1} \right] = 1 + 3 + 5 + .... + \left( {4k + 1} \right).\)

Số các số hạng của tổng \(S\) là: \(\frac{{4k + 1 - 1}}{2} + 1 = 2k + 1\) (số hạng).

\( \Rightarrow S = \left( {4k + 1 + 1} \right).\left( {2k + 1} \right):2 = \left( {4k + 2} \right)\left( {2k + 1} \right):2 = \left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) = {\left( {2k + 1} \right)^2}.\)

\( \Rightarrow S\) là một số chính phương.

Vậy tổng của \(n\) số lẻ đầu tiên là một số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link