Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\,\,SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt

Câu hỏi số 370811:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\,\,SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\). Tính bán kính \(R\) của khối cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.CMN\).

A. \(R = \dfrac{{a\sqrt {93} }}{{12}}\)

B. \(R = \dfrac{a}{4}\)

C. \(R = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{4}\)

D. \(R = \dfrac{{a\sqrt {93} }}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370811

Phương pháp giải

+ Gắn hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm \(S,\,\,C,\,\,M,\,\,N\).

+ Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm \(S,\,\,C,\,\,M,\,\,N\).

+ Tính bán kính mặt cầu vừa lập được phương trình.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, tổng quát hóa ta chọn \(a = 1\).

Khi đó \(H \equiv O,\,\,M\left( {1;0;0} \right),\,\,C\left( { - \dfrac{1}{2};1;0} \right),\,\,N\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,S\left( {0;0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.CMN\) có dạng:

\(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\).

\(S,\,\,C,\,\,M,\,\,N \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + d = - 1\\a - 2b + d = - \dfrac{5}{4}\\a - b + d = - \dfrac{1}{2}\\ - \sqrt 3 c + d = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{4}\\b = \dfrac{3}{4}\\c = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{{12}}\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \dfrac{{31}}{{48}} > 0\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \dfrac{{\sqrt {93} }}{{12}}\).

Vậy bán kính \(R\) của khối cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.CMN\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt {93} }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.