Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A,\,\,B\), thỏa mãn điều kiện \(AB = BC =

Câu hỏi số 370812:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A,\,\,B\), thỏa mãn điều kiện \(AB = BC = a,\,\,AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,\,CD\). Tính cosin của góc giữa \(MN\) và \(\left( {SAC} \right)\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{{10}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {55} }}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370812

Phương pháp giải

+ Đặt hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm \(M,\,\,N,\,\,S,\,\,A,\,\,C\).

+ Tính vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của \(MN\), vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của \(mp\left( {SAC} \right)\).

+ Sử dụng công thức tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: \(\sin \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).

Giải chi tiết

Chọn hệ trục như hình vẽ, tổng quát hóa chọn \(a = 1\).

Khi đó ta có \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {1;0;0} \right),\,\,C\left( {1;1;0} \right),\,\,D\left( {0;2;0} \right),\,\,S\left( {0;0;1} \right),\,\,M\left( {\dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}} \right).\,\,N\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};0} \right)\).

Vec tơ chỉ phương của \(MN\) là \(2\overrightarrow {MN} = 2\left( {0;\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right) = \left( {0;3; - 1} \right)\).

Véc tơ pháp tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Vậy \(\sin \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} \sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}} \Rightarrow \cos \left( {MN;\left( {SAC} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{3\sqrt 5 }}{{10}}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {55} }}{{10}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.