Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\,\,\widehat {BAC} = {120^0},\,\,AA' = a\). Gọi
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\,\,\widehat {BAC} = {120^0},\,\,AA' = a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'\). Cosin góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+ Chọn hệ trục tọa độ.
+ Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,M,\,\,N\).
+ Tính các VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} \) của \(\left( {AMN} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) của \(\left( {ABC} \right)\).
+ Sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).
Chọn hệ trục như hình vẽ, tổng quát hóa chọn \(a = 1\).
Dễ dàng tính được \(MB' = MC' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,MA' = \dfrac{a}{2}\).
Khi đó ta có: \(M\left( {0;0;0} \right),\,\,N\left( {0; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right);\,\,A\left( {\dfrac{1}{2};0;1} \right)\).
\(Mp\left( {ABC} \right)\parallel \left( {A'B'C'} \right) \equiv Oxy \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( {\dfrac{1}{2};0;1} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;0;2} \right)\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( {0; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0; - \sqrt 3 ;1} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {AMN} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2\sqrt 3 ; - 1; - \sqrt 3 } \right)\).
Vậy \(\cos \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {\overrightarrow k ;\overrightarrow n } \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
