Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = 3\), tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AC = 2\sqrt 2 \).

Câu hỏi số 370822:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = 3\), tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AC = 2\sqrt 2 \). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\). Trên hai cạnh \(SA,\,\,SB\) lấy các điểm \(P,\,\,Q\) tương ứng sao cho \(SP = 1,\,\,SQ = 2\). Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(MNPQ\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{7}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{9}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{{18}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370822

Phương pháp giải

+ Chọn hệ trục tọa độ sao cho \(B\) là gốc tọa độ.

+ Xác định tọa độ các đỉnh \(S,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\).

+ Sử dụng công thức \({V_{MNPQ}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {NM} ;\overrightarrow {NQ} } \right].\overrightarrow {NP} } \right|\).

Giải chi tiết

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: \(B\left( {0;0;0} \right),\,\,A\left( {2;0;0} \right);\,\,C\left( {0;2;0} \right);\,\,N\left( {0;1;0} \right),\,\,M\left( {1;1;0} \right);\,\,S\left( {1;1;\sqrt 7 } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {SP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} \Rightarrow P\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{{2\sqrt 7 }}{3}} \right);\,\,\overrightarrow {BQ} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BS} \Rightarrow Q\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {NM} = \left( {1;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {NQ} = \left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{{\sqrt 7 }}{3}} \right),\,\,\overrightarrow {NP} = \left( {\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3};\dfrac{{2\sqrt 7 }}{3}} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {NM} ;\overrightarrow {NQ} } \right] = \left( {0; - \dfrac{{\sqrt 7 }}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).

Suy ra \({V_{MNPQ}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {NM} ;\overrightarrow {NQ} } \right].\overrightarrow {NP} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\dfrac{{\sqrt 7 }}{9} - \dfrac{{4\sqrt 7 }}{9}} \right| = \dfrac{{\sqrt 7 }}{{18}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.