Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). \(M,\,\,N\) là hai điểm thỏa mãn
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). \(M,\,\,N\) là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow 0 ,\,\,\overrightarrow {NB'} = 3\overrightarrow {NC'} \). Biết rằng hai mặt phẳng \(\left( {MCA} \right)\) và \(\left( {NAB} \right)\) vuông góc với nhau. Tính thể tích lăng trụ.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+ Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\) và đặt \(BB' = m\). Đặt hệ trục tọa độ sao cho \(O\) là gốc tọa độ.
+ Tính các VTPT của 2 mặt phẳng \(\left( {MCA} \right)\) và \(\left( {NAB} \right)\).
+ \(\left( {MCA} \right) \bot \left( {NAB} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MCA} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {NAB} \right)}} = 0\) tìm \(m\) sau đó tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\) và đặt \(BB' = m\). Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có: \(A\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right),\,\,B\left( {0; - \dfrac{1}{2};0} \right),\,\,C\left( {0;\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,M\left( {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{2m}}{3}} \right),\,\,N\left( {0;1;m} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{1}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {MA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{2m}}{3}} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {MA} } \right] = \left( {\dfrac{m}{3};\dfrac{{\sqrt 3 m}}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {MCA} \right)\).
Có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {MA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1; - m} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {NA} } \right] = \left( { - \dfrac{m}{2};\dfrac{{\sqrt 3 m}}{2}; - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {NAB} \right)\).
Theo giả thiết có: \(\left( {MCA} \right) \bot \left( {NAB} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MCA} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {NAB} \right)}} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{6} + \dfrac{{{m^2}}}{2} - \dfrac{9}{8} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}\).
Vậy \(BB' = \dfrac{{3\sqrt 6 a}}{4} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 6 a}}{4} = \dfrac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
