Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). \(M,\,\,N\) là hai điểm thỏa mãn

Câu hỏi số 370823:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). \(M,\,\,N\) là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow 0 ,\,\,\overrightarrow {NB'} = 3\overrightarrow {NC'} \). Biết rằng hai mặt phẳng \(\left( {MCA} \right)\) và \(\left( {NAB} \right)\) vuông góc với nhau. Tính thể tích lăng trụ.

A. \(\dfrac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{9{a^3}}}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370823

Phương pháp giải

+ Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\) và đặt \(BB' = m\). Đặt hệ trục tọa độ sao cho \(O\) là gốc tọa độ.

+ Tính các VTPT của 2 mặt phẳng \(\left( {MCA} \right)\) và \(\left( {NAB} \right)\).

+ \(\left( {MCA} \right) \bot \left( {NAB} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MCA} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {NAB} \right)}} = 0\) tìm \(m\) sau đó tính thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\) và đặt \(BB' = m\). Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta có: \(A\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right),\,\,B\left( {0; - \dfrac{1}{2};0} \right),\,\,C\left( {0;\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,M\left( {0; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{2m}}{3}} \right),\,\,N\left( {0;1;m} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{1}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {MA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{2m}}{3}} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {MA} } \right] = \left( {\dfrac{m}{3};\dfrac{{\sqrt 3 m}}{3};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {MCA} \right)\).

Có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2};0} \right),\,\,\overrightarrow {MA} = \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1; - m} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {NA} } \right] = \left( { - \dfrac{m}{2};\dfrac{{\sqrt 3 m}}{2}; - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {NAB} \right)\).

Theo giả thiết có: \(\left( {MCA} \right) \bot \left( {NAB} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MCA} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {NAB} \right)}} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{6} + \dfrac{{{m^2}}}{2} - \dfrac{9}{8} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}\).

Vậy \(BB' = \dfrac{{3\sqrt 6 a}}{4} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 6 a}}{4} = \dfrac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.