Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cạnh \(a\), trên \(B{C_1}\) lấy điểm \(M\) sao cho

Câu hỏi số 370821:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cạnh \(a\), trên \(B{C_1}\) lấy điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {{D_1}M} ,\,\,\overrightarrow {D{A_1}} ,\,\,\overrightarrow {A{B_1}} \) đồng phẳng. Tính diện tích \(S\) của \(\Delta MA{B_1}\).

A. \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt {19} }}{2}\)

B. \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt {19} }}{8}\)

C. \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt {19} }}{4}\)

D. \(S = {a^2}\sqrt {19} \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370821

Phương pháp giải

+ Chọn hệ trục tọa độ.

+ Gọi \(M\left( {x;x;0} \right)\), sử dụng giả thiết cho \(\overrightarrow {{D_1}M} ,\,\,\overrightarrow {D{A_1}} ,\,\,\overrightarrow {A{B_1}} \) đồng phẳng tìm \(x\).

+ Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {M{A_1}} ;\overrightarrow {MB} } \right]} \right|\)

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

\(B = 0,\,\,\,{B_1}\left( {a;0;0} \right),\,\,{C_1}\left( {a;a;0} \right);\,\,C\left( {0;a;0} \right),\,\,A\left( {0;0;a} \right),\,\,{A_1}\left( {a;0;a} \right),\,\,{D_1}\left( {a;a;a} \right),\,\,D\left( {0;a;a} \right)\).

Vì \(M \in B{C_1}\) nên gọi \(M\left( {x;x;0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{D_1}M} = \left( {x - a;x - a; - a} \right);\,\,\overrightarrow {D{A_1}} = \left( { - a;a;0} \right);\,\,\overrightarrow {A{B_1}} = \left( {a;0; - a} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{D_1}M} ,\,\,\overrightarrow {D{A_1}} ,\,\,\overrightarrow {A{B_1}} \) đồng phẳng nên \(\left[ {\overrightarrow {{D_1}M} ;\,\,\overrightarrow {D{A_1}} } \right].\overrightarrow {A{B_1}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3a}}{2};\dfrac{{3a}}{2};0} \right)\).

Nên \(\overrightarrow {MA} = \left( { - \dfrac{{3a}}{2}; - \dfrac{{3a}}{2};a} \right),\,\,\overrightarrow {M{B_1}} = \left( { - \dfrac{a}{2}; - \dfrac{{3a}}{2};0} \right)\).

Vậy \(S = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {M{A_1}} ;\overrightarrow {MB} } \right]} \right| = \dfrac{{{a^2}\sqrt {19} }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.