Cho lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\), cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\). Tìm \(x\)

Câu hỏi số 370824:

Vận dụng cao

Cho lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\), cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\). Tìm \(x\) để góc tạo bởi đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(x = \dfrac{1}{2}\)

B. \(x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(x = 2\)

D. \(x = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370824

Phương pháp giải

+ Chọn hệ trục tọa độ.

+ Tính góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\).

+ Sử dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Khi đó ta có: \({D_1}\left( {0;0;0} \right),\,\,{B_1}\left( {1;1;0} \right),\,\,D\left( {0;0;x} \right),\,\,C\left( {1;0;x} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ;\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x; - x; - 1} \right)\) là VTPT.

Đường thẳng \({B_1}D\) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - x} \right)\) là vectơ chỉ phương.

Gọi \(\varphi \) là góc giữa \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) suy ra:

\(\begin{array}{l}\sin \varphi = \dfrac{{\left| {x - x + x} \right|}}{{\sqrt {{x^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)} }}\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt {\left( {2x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) + 5} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {2.2\sqrt {{x^2}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} + 5} }} = \dfrac{1}{3}\end{array}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1\).

Góc \(\varphi \) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \varphi \) lớn nhất \( \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy góc tạo bởi đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.