Cho lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\), cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\). Tìm \(x\)
Cho lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\), cạnh đáy bằng \(1\) và chiều cao bằng \(x\). Tìm \(x\) để góc tạo bởi đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+ Chọn hệ trục tọa độ.
+ Tính góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\).
+ Sử dụng BĐT Cô-si.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
Khi đó ta có: \({D_1}\left( {0;0;0} \right),\,\,{B_1}\left( {1;1;0} \right),\,\,D\left( {0;0;x} \right),\,\,C\left( {1;0;x} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ;\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x; - x; - 1} \right)\) là VTPT.
Đường thẳng \({B_1}D\) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - x} \right)\) là vectơ chỉ phương.
Gọi \(\varphi \) là góc giữa \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) suy ra:
\(\begin{array}{l}\sin \varphi = \dfrac{{\left| {x - x + x} \right|}}{{\sqrt {{x^2} + {{\left( { - x} \right)}^2} + 1} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)} }}\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt {\left( {2x + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) + 5} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {2.2\sqrt {{x^2}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} + 5} }} = \dfrac{1}{3}\end{array}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1\).
Góc \(\varphi \) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin \varphi \) lớn nhất \( \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy góc tạo bởi đường thẳng \({B_1}D\) và \(\left( {{B_1}{D_1}C} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 1\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
