Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên \(x,y\) thì \(A = \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y}

Câu hỏi số 370834:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên \(x,y\) thì \(A = \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 3y} \right)\left( {x + 4y} \right) + {y^4}\) là số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370834

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa số chính phương: Số chính phương là số viết được dưới dạng bình phương của một số

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 3y} \right)\left( {x + 4y} \right) + {y^4}\\ = \left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x + 4y} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 3y} \right)} \right] + {y^4}\\ = \left( {{x^2} + 5xy + 4{y^2}} \right)\left( {{x^2} + 5xy + 6{y^2}} \right) + {y^4}\end{array}\)

Đặt \({x^2} + 5xy + 5{y^2} = t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {t - {y^2}} \right)\left( {t + {y^2}} \right) + {y^4}\\ = {t^2} - {y^4} + {y^4}\\ = {t^2}\\ = {\left( {{x^2} + 5xy + 5{y^2}} \right)^2}\end{array}\)

Vì \(x,y \in \mathbb{N} \Rightarrow {x^2} \in \mathbb{N},\,\,xy \in \mathbb{N},\,\,5{y^2} \in \mathbb{N} \Rightarrow {x^2} + 5xy + 5{y^2} \in \mathbb{N}\)

Vậy A là số chính phương (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link