Cho dãy số \(49;4489;444889;44448889;...\) dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào

Câu hỏi số 370835:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(49;4489;444889;44448889;...\) dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng: tất cả các số của dãy số trên đều là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370835

Phương pháp giải

Dựa vào: Để chứng minh một số A là số chính phương, ta chứng minh \(A = {k^2}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\underbrace {44...4}_{n.chu.so.4}\underbrace {88...8}_{n - 1.chu.so.8}9 = \underbrace {44...4}_{n.chu.so.4}\underbrace {88...8}_{n.chu.so.8} + 1 = \underbrace {44...4}_{n.chu.so.4}{.10^n} + 8.\underbrace {11...1}_{n.chu.so.1} + 1\\ = 4.\frac{{{{10}^n} - 1}}{9}{.10^n} + 8.\frac{{{{10}^n} - 1}}{9} + 1 = \frac{{{{4.10}^{2n}} + {{4.10}^n} + 1}}{9} = {\left( {\frac{{{{2.10}^n} + 1}}{3}} \right)^2}\end{array}\)

Ta thấy: \({2.10^n} + 1 = 2\underbrace {00...0}_{n - 1.chu.so.0}1\) có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{{2.10}^n} + 1}}{3}} \right)^2} \in \mathbb{N}\) hay các số có dạng \(44...4488...89\) là số chính phương (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link