Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M\) là điểm trên
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(AA'\) sao cho \(AA' = 3AM\). Biết góc \(\widehat {BMC'} = {90^0}\). Gọi \(V\) là thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), tỷ số \(\dfrac{V}{{{a^3}}}\) gần với giá trị nào sau đây nhất ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l}MC' = A'C{'^2} + A'{M^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}h} \right)^2}\\M{B^2} = A{M^2} + A{B^2} = {\left( {\dfrac{1}{3}h} \right)^2} + {a^2}\\BC' = C'{C^2} + B{C^2} = {h^2} + {a^2}\end{array}\)
+ \(\Delta MBC'\)vuông tại \(M \Rightarrow M{B^2} + MC{'^2} = BC{'^2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + \dfrac{4}{9}{h^2} + \dfrac{1}{9}{h^2} + {a^2} = {h^2} + {a^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{9}{h^2} + 2{a^2} = {h^2} + {a^2} \Leftrightarrow \dfrac{{4{h^2}}}{9} = {a^2} \Leftrightarrow h = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)
+ \(\Delta ABC\) là tam giác đều \( \Rightarrow {R_d} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\begin{array}{l}{R_{mcnt}} = \sqrt {{R_d}^2 + \dfrac{{{h^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}}{4}} = a\dfrac{{\sqrt {129} }}{{12}}\\ \Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .\dfrac{{129\sqrt {129} }}{{1728}}{a^3} = \dfrac{{43\pi \sqrt {129} }}{{432}}{a^3}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{V}{{{a^3}}} = \dfrac{{43\pi \sqrt {129} }}{{432}} \approx 3,5516\).
Chọn B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
