Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right).\) Tính tổng: \(S =

Câu hỏi số 372257:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right).\) Tính tổng:

\(S = f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{3}{{2017}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2015}}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right).\)

A. \(2017.\)

B. \(2016.\)

C. \(4032.\)

D. \(1008.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:372257

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f(1 - x) = \frac{1}{2}{\log ^2}\left( {\frac{{2(1 - x)}}{{1 - (1 - x)}}} \right) = \frac{1}{2}{\log ^2}\left( {\frac{{2 - 2x}}{x}} \right)\\f(x) + f(1 - x) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}} \right) + {{\log }_2}\left( {\frac{{2 - 2x}}{x}} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.{\log _2}\left( {\frac{{2x}}{{1 - x}}.\frac{{2 - 2x}}{x}} \right) = \frac{1}{2}{\log _2}4 = 1\end{array}\)

Vậy \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 1\)

\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right) = 1\\\,f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2015}}{{2017}}} \right) = 1\end{array}\)

...............

Ta có: \(S = f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{3}{{2017}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2015}}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right).\)

\(\underbrace { = \left[ {f\left( {\frac{1}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2016}}{{2017}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{2015}}{{2017}}} \right)} \right] + .... + \left[ {f\left( {\frac{{1008}}{{2017}}} \right) + f\left( {\frac{{1009}}{{2017}}} \right)} \right]}_{}\)

Tổng cộng có 1008 cặp, mà mỗi cặp lại có tổng bằng 1

\( \Rightarrow S = 1008.1 = 1008.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.