Hàm số nào sau đây tồn tại giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\)?

Câu hỏi số 372649:

Thông hiểu

A. \(y = {e^{ - x}}\)

B. \(y = {e^{2{x}}} + {e^x} - 1\)

C. \(y = \ln \left( { - {x^2} + 2x} \right)\)

D. \(y = \ln \sqrt {{x^2} + x + 1} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:372649

Giải chi tiết

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \)

Mà: \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \ge \sqrt 0 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \ge \sqrt {0 + \dfrac{3}{4}} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \ln \sqrt {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \ge \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \ln \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}.\)

Vậy hàm số \(y = \ln \sqrt {{x^2} + x + 1} \) có min trên \(\mathbb{R}\) là \(\ln \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.